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周 期 法 的 校 正 运 算 过 程 即 为 ：9.90 + 1/2 － 0.32/2≈ 平滑的曲线的定积分，设Markov模型单位同期为n，k为
10.24年。 任一正整数，当 k 取 1，2…，T 时，tk＝n，2n，…nT，即总周
1.0 期为nT。函数f（x）在区间[tk－1，tk+1]中的定积分则约等于
0.9 通过（tk－1，f（tk－1 ））、（tk，f（tk ））、（tk+1，f（tk+1 ））的曲线与x轴围
0.8
％ 0.7 成的曲边梯形面积，函数 f（x）在区间[tk－1，tk+1]围成的面
患病人数比例， 0.5 积Ck为： tk+1－tk－1 [f（tk－1 ）+4f（tk ）+f（tk+1 ）]
0.6
0.4
Ck＝
0.3
0.2 6
0.1 则f（x）在[0，T]区间内的积分CT为：
0 T－1 2n T－1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 CT＝ ∑ Ck＝ ∑ [f（tk－1 ）+4f（tk ）+f（tk+1 ）]
循环周期，年 k＝1，3，5… 6 k＝1，3，5…
图3 半周期法校正 n
Fig 3 Half-cycle correction ＝ 3 [f（t0 ）+4f（t1 ）+2f（t2 ）+4f（t3 ）f+2f（t4 ）+…+4f（tnT －1 ）+
尽管半周期法操作简单、应用广泛，但是其原理和 f （tnT ）]
计算过程使得其仅能基于首末周期校正，若周期长度不 n [f（t0 ）+4 ∑ f（tk ）+2 ∑ f（tk ）+f（tT ）]
T－2
T－1
一致、f（t）分段不连续，则无法校正。 ＝ 3 k＝1，3，5… k＝2，4，6…
2.2 梯形法 即Simpson’s 1/3 法要求周期总数为偶数；首末周期
为了解决半周期法仅能通过首末周期校正的缺陷， 将结果乘以1/3；其他的中间周期，奇数周期乘以4/3、偶
可应用数值积分中的梯形法。其基本原理是将f（t）每一 数周期则乘以2/3。
周期的端点值连线，由此将标准 Markov 模型中未经校 Simpson’s 3/8 公式基于 3 次插值推导，能更精确地
正的矩形变成梯形，将折线下的面积作为累计的结果 拟合较为平滑的曲线的定积分，函数 f（x）在区间[tk，tk+3]
[3]
（如图4所示） 。若f（t）为凸函数，则梯形法校正的结果 （k＝1，2，3，…，T）中的定积分则约等于通过（tk，f（tk ））、
将略低于曲线下面积；若f（t）为凹函数，则梯形法计算的 （tk+1，f（tk+1 ））、（tk+2，f（tk+2 ））、（tk+3，f（tk+3 ））的曲线与x轴围成
结果将略高于曲线下面积。在计算健康产出和成本时， 的曲边梯形面积，规定 Markov 模型中单位周期为 n，函
梯形法对 Markov 模型的每一周期都进行了调整，即使 数f（x）在区间[tk，tk+3]围成的面积Ck为：
出现周期长度不同、f（t）分段不连续的情况也能予以校 3n
Ck＝ [f（tk ）+3f（tk+1 ）+3f（tk+2 ）+f（tk+3 ）]
正，克服了半周期法仅能基于首末周期校正的缺陷，能 8
得到相较半周期法更精准的结果。 f （x）在[0，T]区间内的积分为：
1.0 T－3 3n
CT＝ ∑ Ck＝ [f（t0 ）+ 3f（t1 ）+ 3f（t2 ）+ 2f（t3 ）+
0.8 k＝1，3，5… 8
％ 3f（t4 ）+3f（t5 ）+2f（t6 ）+…+2f（tT－3 ）+2f（tT－2 ）+2f（tT－1 ）+f（tT ）]
患病人数比例， 0.6 即 Simpson’s 3/8 法中，要求周期总数可被 3 整除；
0.4
是3的倍数则乘以6/8，否则乘以9/8 。
[3]
0.2 首末周期将结果乘以 3/8；其他的中间周期如果周期数
0 2.4 寿命表法
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
循环周期，年 寿命表法借鉴了保险精算和生存分析中常用的寿
图4 梯形法校正 命表。寿命表由年龄组、死亡概率（qx ）、尚存人数（lx ）、死
Fig 4 Trapezoidal rule 亡人数（dx ）、生存人年数（Lx ）和总生存人年数（Tx ）构成。
2.3 Simpson’s 1/3 法和Simpson’s 3/8法 某一年龄组的尚存人数与该年龄组的死亡概率的乘积
数值积分中，Simpson’s 1/3法和Simpson’s 3/8法是 即为这一年龄组的死亡人数（dx＝lx×qx ），下一年龄组的
相较梯形法精度更高的计算方法，也可用于周期内校 尚存人数即为上一年龄组的尚存人数减去死亡人数
正。数值积分是将连续的定积分离散为不同特定的形 （lx+1＝ lx－dx ），生存人年数取该年龄组的组距t与该年龄组
状，诸如矩形、梯形、曲边梯形等，通过计算这些形状的 和下一年龄组尚存人数的均值的乘积[Lx＝t×（lx+ lx+1 ）/2]，
面积从而获得近似的积分值，因其能计算难以获得积分 生存总人年数即为所有年龄组生存人年数的总和。
函数或难以计算原函数的积分，故在计算机领域被广泛 表 2 为以上述原理按照 1 000 人规模且下年死亡率
应用。数值积分的基本方法是使用插值法，在特定区间 为0.52时编制的寿命表，依照寿命表计算的总生存人年
内选择1组点以代表该区间的函数值取值情况，其构造 数与依照半周期法计算的总生存人年数基本一致，表明
的基本插 值 型 求 积 公 式 包 括 Simpson’s 1/3 公 式 和 其精度尚可。实际应用时，年龄组即为 Markov 模型中
Simpson’s 3/8公式 。 的循环周期，死亡概率可类比为转移概率；另外，在实质
[3]
Simpson’s 1/3公式基于两次插值推导，能拟合较为 上，寿命表法和梯形法原理完全一致，可以认为二者等
·982 · China Pharmacy 2020 Vol. 31 No. 8 中国药房 2020年第31卷第8期
